´ Algebra Moderna Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA ´ Livro: Algebra Linear - Editora Harbra (Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler) Compilado dia ´ Solucion´ ario da 3a edi¸c˜ ao do livro de Algebra Linear dos autores: Jos´e Luiz Boldrini, Sueli I.Rodrigues Costa, Vera L´ ucia Figueiredo e Henry G. Para quem desejar; uma c´ opia do livro pode ser baixada em lin I mat 2012 2/Algebra%20Linear%20Boldrini.pdf. A expectativa ´e que seja respondido um cap´ıtulo do livro por mˆes. Mas, infelizmente resolver e digitar (principalmente digitar), os exerc´ıcios desse livro leva um bom tempo. Assim, pode haver atrasos na postagem.

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De todo modo, n˜ao deixe de acompanhar o documento no link abaixo, para obter futuras atualiza¸c˜oes. EXERC´ICIO PAGINA 11 1. Sejam  1 A= 2 2 1 3 −1  ,B= −2 3    −1 0 1, C =  2  e D = [2, −1] 0 1 4 Encontre: a) A + B b) A C c) B C d) C D e) D A f) D B g) −A h) −D 1 ´ Algebra Moderna Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA Solu¸ c˜ ao de a: A+B  1 2 2 1  3 −1  + −2 3 0 1 0 1   = −1 5 2 4 1 0  Solu¸ c˜ ao de b: AB  1 2 2 1 3 −1      −1 15  2 = −4 4 Solu¸ c˜ ao de g: −1 A  −1  2. Seja A = 2 2x − 1 x2 0 1 2 2 1 3 −1   = −1 −2 −2 −1 −3 1   Se A’ = A, ent˜ao x = Solu¸ c˜ ao: Se A’ = A ent˜ ao:    2 2x − 1 2 = x2 0 2x − 1 x2 0  Que resulta nas seguintes igualdades: 2 = 2 e 2x − 1 = x2 Desta ultima igualdade tira-se que x = 1. Se A ´e uma matriz sim´etrica, ent˜ao A – A’..

Solu¸ c˜ ao: Se A ´e sim´etrica ent˜ ao A = A’ e portanto A – A’ = A – A = 0. Assim, o resultado desta opera¸c˜ ao seria uma matriz nula. 2 ´ Algebra Moderna Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA 4.

Se A ´e uma matriz triangular superior, ent˜ao A’ ´e.. Solu¸ c˜ ao: Uma matriz triangular superior quando transposta passa a ser uma matriz triangular inferior. Se A ´e uma matriz diagonal, ent˜ao A’.. Solu¸ c˜ ao: Toda matriz diagonal ´e sim´etrica de modo que se A ´e uma matriz diagonal ent˜ao A’ = A. Classifique em verdadeiro ou falso: a) –A’ = –A’ b) (A + B)’ = B’ + A’ c) Se AB = 0, ent˜ ao A = 0 ou B = 0 d) k1 Ak2 B = k1 k2 AB e) –A –B = –AB f) Se A e B s˜ ao matrizes sim´etricas, ent˜ao AB = BA g) Se AB = 0, ent˜ ao BA = 0 h) Se ´e poss´ıvel efetuar o produto AA, ent˜ao A ´e matriz quadrada Solu¸ c˜ ao de a: Pela propriedade iv a proposi¸c˜ ao ´e verdadeira.

Solu¸ c˜ ao de b Pela propriedade iii a proposi¸c˜ ao ´e verdadeira. Solu¸ c˜ ao de c:  Falsa. Tomando A = 1 0 0 0   eB= 0 1 n˜ ao ´e verdadeira. Solu¸ c˜ ao de d: Usando a associatividade 3 0 0  por exemplo, verifica-se que a proposi¸c˜ao ´ Algebra Moderna Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA (k1 k2 )AB = A(k1 k2 )B Usando a comutatividade A(k2 k1 )B = k2 (Ak1 )B = (Ak1 ) (k2 B) = (k1 A)(k2 B). Solu¸ c˜ ao de e:  Falsa. Como contra exemplo tome A = 2 0 1 −1 2 0 0 1   eB= 0 1 3 1  Solu¸ c˜ ao de f:  Falsa. Como contra exemplo tome A =   eB= 2 1 1 0  Solu¸ c˜ ao de g: Falsa.

Solu¸ c˜ ao de h: Verdadeiro. O produto entre duas matrizes s´o ´e poss´ıvel se o numero de linhas da segunda for igual ao numero de colunas da primeira. Assim Am×n Am×n s´o ocorre se m = n. O que implicaria no fato de A ser quadrada.

Se A = AA, ent˜ ao Solu¸ c˜ ao:  2  −2 1 −2 = 3 2 3 1 2 −2 3 1 2 2   −2 3. 1 2   = 7 0 0 7  8. Se A ´e uma matriz triangular superior, ent˜ao A2 ´e..

Solu¸ c˜ ao: Do tipo triangular superior. 4 ´ Algebra Moderna Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA  9. Ache, x, y, z, w se x y z w  2 3 3 4 x y z w    = 1 0 0 1  Solu¸ c˜ ao:  O produto entre as matrizes  e 2 3 3 4   resulta em 2x + 3y 2z + 3w 3x + 4y 3z + 4w  Que por hip´ otese ´e igual a matriz nula.  2x + 3y 2z + 3w 3x + 4y 3z + 4w   = 1 0 0 1  Resolvendo as equa¸c˜ oes acima chega-se a x = −4; y = 3; z = 3; e w = −2.

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Dadas A =  2 4 mostre que AB = AC. −3 1 −3   2 1 −3 , B =  2 −1 1 4 1 −2   1 0 2 1 1  e C =  3 1 2 2 1 −2 −5 −1 −1 −1  −2 −1  0 Solu¸ c˜ ao: AB = AC  −3  1 −3 −3 15 15   −3 0 1 0 −5  =  1 −3 0 −5 −3 15 15  0 1 0 −5  0 −5 11. Suponha que A 6= 0 e AB = AC onde A, B, C s˜ao matrizes tais que a multiplica¸c˜ao esteja definida. B) Se existir uma matriz Y, tal que YA = I, onde I ´e a matriz identidade, ent˜ao B = C? Solu¸ c˜ ao: Se AB = AC e A−1 for transposta de A ent˜ao: A−1 (AB) = A−1 (AC) Usando a associatividade (A−1 A)B = (A−1 A)C IB = IC B=C 5 ´ Algebra Moderna Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA 12.